Encuentra la ecuación simétrica de una recta con abscisa en el origen de -3 y ordenada en el origen de 4

Encuentra la ecuación simétrica de la recta cuya abscisa al origen es -3 y la ordenada al origen es 4

Para encontrar la ecuación simétrica de una recta, necesitamos conocer un punto sobre la recta y la dirección en la que se extiende la recta. En este caso, conocemos dos puntos sobre la recta: la abscisa al origen es -3 y la ordenada al origen es 4.

El punto que conocemos es P(-3, 4). Para encontrar la dirección de la recta, necesitamos otro punto. Podemos tomar cualquier punto, pero para simplificar las cosas, tomemos el punto Q(3, -4) que es simétrico al punto P respecto al origen de coordenadas.

La dirección de la recta es la recta que une los puntos P y Q. Calculamos la pendiente de esta recta:

m = (4 – (-4)) / (-3 – 3) = 8 / (-6) = -4 / 3

La ecuación simétrica de la recta que pasa por el punto P y tiene dirección dada por el vector PQ es:

x + y = 2a

donde a es la abscisa del punto medio entre P y su simétrico respecto al origen. El punto medio de PQ es:

M = ((-3 + 3) / 2, (4 + (-4)) / 2) = (0, 0)

El punto simétrico de P respecto al origen es P'(-(-3), -4) = (3, -4). Por lo tanto, a = 3.

Sustituyendo en la ecuación simétrica, obtenemos:

x + y = 6

Esta es la ecuación simétrica de la recta que buscamos.

Conclusión

Encontrar la ecuación simétrica de una recta puede parecer un poco complicado al principio, pero con la ayuda de un punto sobre la recta y la dirección en la que se extiende, podemos calcular fácilmente la ecuación. En este caso, conocíamos dos puntos sobre la recta y utilizamos uno de ellos para calcular la dirección de la recta y el otro para encontrar su simétrico respecto al origen. Con esta información, pudimos calcular la ecuación simétrica de la recta.