Cálculo del área sombreada entre dos semicircunferencias con diámetros D=10 y d=4

En problemas geométricos, es común enfrentarse a situaciones en las que se deben calcular áreas de figuras complejas. Uno de estos casos es cuando se tiene una figura formada por dos semicircunferencias de diferentes tamaños. En este artículo, se explicará cómo calcular el área sombreada de una figura formada por dos semicircunferencias de radios diferentes.

Problema

El diámetro de la semicircunferencia mayor es de D=10 y el diámetro de la semicircunferencia menor es de d=4. Se desea hallar el área sombreada de la figura formada por ambas semicircunferencias.

Solución

Para resolver el problema, es necesario utilizar conocimientos de geometría básica. En este caso, se puede empezar por calcular el área total de la figura, que corresponde a la suma de las áreas de ambas semicircunferencias. La fórmula para calcular el área de una semicircunferencia es:

A = πr²/2

  • Para la semicircunferencia mayor, el radio es D/2, por lo que su área es:
  • A1 = π(D/2)²/2 = π(10/2)²/2 = 25π/2

  • Para la semicircunferencia menor, el radio es d/2, por lo que su área es:
  • A2 = π(d/2)²/2 = π(4/2)²/2 = 2π

  • Por lo tanto, el área total de la figura es:
  • Atotal = A1 + A2 = 25π/2 + 2π = 29π/2

Ahora se debe calcular el área de la porción no sombreada de la figura. Esta porción corresponde a una semicircunferencia de radio D/2 que se encuentra dentro de la semicircunferencia menor. El área de esta porción puede calcularse restando el área de un triángulo rectángulo de base d/2 y altura (D-d)/2, de la semicircunferencia menor. La fórmula para el área de un triángulo es:

A = b*h/2

  • El área del triángulo es:
  • At = (d/2)*(D-d)/2 = 2

  • Por lo tanto, el área de la porción no sombreada es:
  • Aporción = A2 – At = 2π – 2 = 2(π-1)

Finalmente, el área sombreada de la figura es la diferencia entre el área total y el área de la porción no sombreada:

Asombreada = Atotal – Aporción = 29π/2 – 2(π-1) = 27π/2 – 2 ≈ 40.8496

Conclusiones

En este artículo se ha explicado cómo calcular el área sombreada de una figura formada por dos semicircunferencias de radios diferentes. Para ello, se ha utilizado conocimientos de geometría básica, como la fórmula para calcular el área de una semicircunferencia y la fórmula para calcular el área de un triángulo. Es importante recordar que, para resolver problemas geométricos, es fundamental comprender los conceptos y las fórmulas básicas de la geometría y aplicarlos de forma adecuada.